¿Qué son los métodos numéricos?

 

Los métodos numéricos corresponden a aquellos procedimientos en los que se realizan cálculos aritméticos que permitan dar solución a problemas. Existen diversos tipos de métodos numéricos o algoritmos que pueden  ser utilizados para dar una solución aproximada a problemas planteados que no pueden ser resueltos de otra manera, sin embargo, cabe resaltar que se pueden presentar errores.

Para esta ocasión se hablará específicamente de uno de esos métodos que es el Método para calcular raíces (métodos abiertos y métodos de intervalos) 

Raíz de una ecuación

La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los problemas más antiguos en matemáticas, es importante ya que si se determina la raíz de una ecuación igualmente se determina los máximos y mínimos, valores propios de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales, entre otros.

Lo anterior para establecer los valores de x para los que se cumple la función: F (x) = 0. Para calcular las raíces de una ecuación se puede hacer principalmente a partir de dos tipos de métodos, los métodos abiertos y los de intervalos.

Métodos abiertos

                                               Imágen 1 (tomada de métodos abiertos, s.f)

Toda la información contenida a continuación está basada en el libro "Métodos numéricos para ingenieros - 5 edición". Los métodos abiertos se caracterizan especialmente porque sus formulas requieren de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran la raíz, algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo y cuando convergen lo hacen más rápido que los métodos de intervalos. Dentro de los métodos abiertos se encuentran los siguientes:

• Iteración simple de punto fijo

El algoritmo para la iteración de punto fijo también llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva o método de punto fijo, es bastante simple, ya que consta de un loop o ciclo que calcula en forma iterativa nuevas aproximaciones hasta satisfacer el criterio de terminación.

• Método de Newton-Raphson

Esta corresponde a la formula más utilizada para calcular raíces.  Si el valor inicial para la raíz es xi , entonces se puede trazar una tangente desde el punto [xi, f(xi )] de la curva. Por lo común, el punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.

Una de las desventajas de este método es que por lo general resulta obsoleta en el caso de las raíces múltiples y en ocasiones con las raíces simples.

• Método de la secante

En este método se requiere de dos valores iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se necesita que f(x) cambie de signo entre los valores dados, hace que este método no se clasifica como un método cerrado a diferencia del de la falsa posición. Este método es muy similar al de la falsa posición, no obstante, pese a que el método de la secante sea divergente, cuando converge lo hace más rápido que el método de la falsa posición.

• Raíces múltiples

Una raíz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangencial al eje x. Las raíces múltiples se repiten un número par de veces cuando la función no cambia de signo, y un número impar de veces cuando la función cambia de signo. Su estructura es muy similar a la de Newton-Raphson, pero se requiere la segunda derivada y puede operar cuando la derivada es cero, inclusive, la hace más efectiva.

Métodos  de intervalos 

Los métodos de intervalos también conocidos como métodos cerrados ya que requieren de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, dichos valores iniciales deben “encerrar”, o estar a ambos lados de la raíz. Los métodos particulares descritos aquí emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta.

• Métodos gráficos

Consiste en graficar la función y observar dónde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximación inicial de la raíz. Una de las desventajas de este método es que no es preciso y por ello se utiliza para obtener aproximaciones que pueden ser usados como valores iniciales.

• Método de bisección

Es el método mas primordial y antiguo para establecer las raíces de una ecuación.Consiste en partir de un intervalo [x₀,x₁]tal que f(x₀)f(x₁) < 0, por lo que se sabe que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamos decidido emplear.

El número de cálculos que se debe realizar para alcanzar la precisión deseada suele ser muy elevado.
 Ahora hay que determinar en que sub-intervalo esta la raíz para eso se hace lo siguiente
    a) si f(xi)*f(xs)<0
        Entonces la raíz esta en el primer sub-intervalo y xs = xr
    b) si f(xi)*f(xs)>0
        Entonces la raíz se encuentra en el segundo sub-intervalo y xi=xr
    c) si f(xi)*f(xs)=0 ó f(xs)*f(xr)=0
        Entonces xr es la raíz
Después se calcula el error aproximado (Ea%=100(xr(valor actual)-xr(valor anterior)))

    xr (valor actual)

Se vuelve a calcular la siguiente aproximación siguiendo el mismo proceso, una y otra vez hasta que el error sea mínimo.

• Método de la falsa posición

Aun cuando la bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su método de aproximación por “fuerza bruta” es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica, este método suele tener una desventaja: su unilateralidad. Es decir, conforme se avanza en las iteraciones, uno de los puntos limitantes del intervalo tiende a permanecer fijo, no obstante para disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posición consiste en obtener un algoritmo que detecte cuando se “estanca” uno de los límites del intervalo. Si ocurre esto, se divide a la mitad el valor de la función en el punto de “estancamiento”. A este método se le llama método de la falsa posición modificado.

Referencias

Chapra, S. C., Canale, R. P., Brito, J. E., & Hano, M. C. R. (2006). Métodos numéricos para ingenieros. McGraw-Hill Education. Recuperado de http://artemisa.unicauca.edu.co/~cardila/Chapra.pdf

Método de Falsa Posición. (s. f.). Recuperado de Illuminatus. http://illuminatus.bizhat.com/metodos/falsaposicion.htm

Métodos abiertos (s. f.). Recuperado de https://site4.q10.com/EducacionVirtual/Contenido/25532/Detalle?idLeccion=26272